دانستنی معادلات ریاضی

[|~Ava~|]

●معادله


معادله یا برابری یا هم چندی یا هَموگـِش در ریاضیاتبیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.

معادله دو نوع است معادله خطی وغیر خطی. معادلاتی که مجهول آن‌ها یک می‌باشد، معادله خطی ومعادلاتی که مجهول آنها دارای توان بیشتر از یک می‌باشد معادله غیر خطی می‌گویند.

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده می‌شوند.

مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، «جواب معادله» می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را «حل معادله» می‌نامند.

 

[|~Ava~|]

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می‌آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می‌آوریم.

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که X تنها در یک طرف معادله باشد. نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله با هم برابر است.

حل معادله روش معلوم و مجهول کردن☆​

جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:

1. مجهول (x) یک طرف بقیه طرف دوم
2. اگر عددی را از یک طرف به طرف دیگر ببریم قرینه می‌شود
3. ضریب مجهول (x) / معلوم = مقدار مجهول. مثال:

9x+5=۱۴ برای حل جملات شامل x یک طرف نگه داشته بقیه را طرف دوم می‌بریم. اگر عددی را از یک طرف به طرف دیگر ببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی و منفی به مثبت تبدیل می‌شود:

9x=۱۴–۵ مرحله اول در نتیجه 9x=۹ مرحله سوم: x=۹/۹=۱ پس x=۱ جواب معادله است برای امتحان معادله به جای x درمعادله اولی مقدار بدست آمده را قرار می‌دهیم.

باید دو طرف معادله با هم مساوی باشند اگر مساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است. حال در معادله اولیه ۹x+5=۱۴ مقدار بدست آمده x=۱ را قرار می‌دهیم داریم 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دو طرف مساوی اند پس x=۱ جواب درست معادله است.

 

[|~Ava~|]

●قاعده کرامر

در جبر خطی، قاعده کرامر روشی صریحی برای حلدستگاه معادلات خطی ای که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر و دستگاه جواب منحصر بفرد دارد، است.

این روش از دترمینان‌های ماتریس (مربع) ضرایب و ماتریس‌هایی که از جایگزینی یکی از ستون‌های ماتریس ضرایب با بردار سمت راست معادله بدست می‌آید، تعریف می‌گردد.

این روش به نام گابریل کرامر (۱۷۰۴–۱۷۵۲) که این روش را برای تعداد دلخواهی از مجهولات در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد.

اگرچه کولین مک‌لورین نیز در سال ۱۷۴۸ برای موارد خاص این روش را منتشر کرده بود (و احتمالاً در ۱۷۲۹ نیز این روش شناخته شده بود)

قاعده کرامر برای معادلات با ضرایب و مجهولات تنها برایاعداد حقیقی نیست و برای هر میدان تعریف می‌گردد. اخیراً نشان داده شده‌است که قاعده کرامر را می‌توان در زمان پیاده‌سازی کرد، که قابل مقایسه با سایر روش‌های رایج برای حل دستگاه معادلات خطی مانند روش حذفی گاوسی می‌باشد.