دانستنی مرموزترین عدد جهان

[Miss Nili]

احتمالا عدد پی را از کلاس هندسه دوران دبیرستان به خاطر دارید. عدد پی احتمالا هم برای کودکان و هم بزرگ‌سالان به یک اندازه گیج‌کننده است؛ چون بی‌انتها و بدون الگو است. بااین‌حال، این عدد آن‌قدر محبوب است که حتی روز آن را در دنیا جشن می‌گیرند.

اگر پی که ظاهرا خارج از دنیای هندسه کاربردی ندارد، سزاوار تقدیر است؛ چرا برای هیچ عدد دیگری جشن برگزار نمی‌شود؟ دلیلش این است که پی با تمام اعداد دیگر متفاوت است. پی ثابت جهانی است که در اکثر فرایندهای رخ‌داده در دنیا به‌چشم می‌خورد. به‌عبارت‌دیگر، پی عددی بی‌الگو است که در شکل‌گیری الگوها نقش مهمی ایفا می‌کند.

درواقع، یکی از دلایل جذابیت و شهرت عدد پی این است که تقریبا به هر جا نگاه می‌کنیم، رد پایی از آن را می‌بینیم. کاربردهای پی گستره بزرگی از سؤالات کاربردی روزمره تا پیچیده‌ترین معماهای جهان را شامل می‌شود. برای آشنایی با ابعاد مرموز و هیجان‌انگیز عدد پی با این مقاله همراه شوید.

 

[Miss Nili]

عناوینی که در این مقاله خواهید خواند:​

• عدد پی چیست؟
• روش‌های محاسبه عدد پی
• اثبات گنگ‌بودن پی
• تاریخچه عدد پی
• عدد پی کامل
• کاربرد عدد پی در طبیعت
• روز جهانی عدد پی
• معجزات عدد پی

---

عدد پی چیست؟​

عدد پی که نماد آن شانزدهمین حرف یونانی، π است و در انگلیسی به‌صورت پای (Pi) تلفظ می‌شود، در دنیای محاسبات هندسی،‌ نسبت محیط هر دایره به قطر آن است.

π = قطر/محیط دایره

نکته جالب اینکه مهم نیست اندازه دایره چقدر باشد؛ چراکه این نسبت همیشه ثابت و برابر با عدد پی خواهد بود.

با عدد پی احتمالا به شکل اعشاری ۳٫۱۴ آشنا هستید؛ اما این رقم تقریبی است؛ چون پی، عدد «گنگ»‌ است. این یعنی ارقام اعشاری آن نه به‌پایان می‌رسد (مثل ۱٫۴که می‌شود ۰٫۲۵) و نه تکراری است (مثل ۱٫۶ که می‌شود …۰٫۱۶۶۶۶۶). عدد پی تا ۱۸ رقم اعشار برابر است با:‌ ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸. همان‌طور‌که می‌بینید، در این زنجیره ۱۸ تایی، هیچ رقمی پشت‌سر‌هم تکرار نشده است و هیچ الگوی ثابتی در آن دیده نمی‌شود.

 

[Miss Nili]

ازاین‌رو، لازم بود برای نشان‌دادن نسبت محیط به قطر مقدار مختصر و تقریبی نظیر ۳٫۱۴ یا نزدیک‌ترین شکل کسری آن یعنی ۲۲/۷ در نظر گرفته شود. سال ۱۷۰۶، ویلیام جونز اولین‌بار حرف یونانی π را از کلمه «محیط» در زبان یونانی (περιφέρεια) به‌عنوان نماد عدد پی گرفت؛ اما حدود سی سال طول کشید تا به‌عنوان ثابت استانداردی در ریاضی استفاده شود.

برای درک بهتر عدد پی، بیایید آزمایش ساده انجام دهیم. روی کاغذ با پرگار دایره‌ای بکشید و تکه‌ای نخ بردارید و آن را یک بار دورتادور دایره قرار دهید. حالا نخ را صاف کنید. محیط دایره برابر با طول نخ است. آن را با خط‌کش اندازه بگیرید و عدد آن را یادداشت کنید. بعد با قرار‌دادن خط‌کش از هر نقطه‌ای از دایره تا نقطه دیگر به‌طوری‌که مرکز آن را قطع کند، قطر دایره را اندازه بگیرید. حالا اگر محیط دایره را بر قطر تقسیم کنید، تقریبا عدد ۳٫۱۴ به‌دست می‌آید.
این آزمایش را با دایره‌هایی با اندازه‌های مختلف تکرار کنید. هر بار خواهید دید از تقسیم محیط دایره بر قطر همواره عدد تقریبی ۳٫۱۴ به‌دست خواهد داد. به‌عبارت‌دیگر، اگر چند تکه نخ برابر با طول قطر دایره داشته باشید، برای پوشاندن دور دایره به کمی بیشتر از سه تکه نخ نیاز خواهید داشت. این عدد پی است؛ نسبت ثابت محیط دایره بر قطر که ارقام اعشار آن تا بی‌نهایت ادامه دارد و هیچ‌گاه دو عدد تکراری پشت‌سرهم قرار نمی‌گیرند.

 

[Miss Nili]

روش‌های محاسبه عدد پی​

محاسبه عدد پی از بعضی جهات بسیار ساده است؛ تنها کافی است محیط هر دایره را به قطر آن تقسیم کنید تا به عدد پی برسید:

اما از آنجایی که عدد پی (π) کاربردهای مهم بسیاری دارد، لازم است محاسبه آن را حداقل تا چند رقم اعشار یاد بگیریم. به هر حال، عدد پی ماشین‌حساب‌ها از آسمان نازل نشده و کسی بوده که باید ابتدا آن را به‌طور دستی و تقریبی محاسبه می‌کرده است. اما ریاضیدانان طول تاریخ برای محاسبه پی از چه روش‌های استفاده می‌کردند؟ در ادامه با بعضی از این روش‌ها آشنا خواهید شد.

اندازه‌گیری دایره‌ها برای محاسبه عدد پی (π)​

اولین و واضح‌ترین روش محاسبه پی (π) این است که کامل‌ترین دایره ممکن را انتخاب کنید و بعد با اندازه‌گیری محیط و قطر آن، میزان پی را به دست آورید. این دقیقا همان کاری است که تمدن‌های باستان انجام می‌دادند و این چنین بود که برای اولین بار فهمیدند در هر دایره‌ای، نسبت ثابتی پنهان است. اما مشکل این روش محاسبه، دقت بسیار پایین آن است. آیا می‌توانید به اندازه‌گیری خط‌کش خود برای محاسبه ۱۰ رقم اعشار پی اعتماد کنید؟

 

[Miss Nili]

استفاده از چند ضلعی‌ها برای محاسبه عدد پی (π)​

ارشمیدس، ریاضیدان یونان باستان، برای محاسبه تقریبی عدد پی روش جالبی ابداع کرد. او درون یک دایره، یک شش ضلعی منتظم کشید و بعد یک شش ضلعی منتظم دیگر را دورتادور و خارج از آن رسم کرد. ارشمیدس از این طریق توانست محيط‌ها و قطرهای دو شش ضلعی را به‌طور دقيق محاسبه كند و با تقسيم محيط بر قطر، میزان تقریبی عدد پی (π) را بدست آورد.

ارشمیدس بعدها راهی یافت تا تعداد اضلاع شش ضلعی خود را دو برابر کند و با نزدیک‌تر کردن شکل شش ضلعی به دایره، مقدار تقریبی دقیق‌تری از پی را محاسبه کرد. او این روش را چهار بار انجام داد تا اینکه به چند ضلعی با ۹۶ گوشه رسید. حالا عدد پی به دست آمده بین ۲۲۱/۷۱ و ۲۲/۷ بود. عدد کسری ۲۲/۷ از آن زمان تاکنون به عنوان یکی از محبوب‌ترین و پرکاربردترین تقریب‌های عدد پی در نظر گرفته شده است.

حدود ۶۰۰ سال پس از ارشمیدس، ریاضیدان چینی به نام تسو چونگچی از روش مشابهی برای کشیدن چند ضلعی منتظم با ۱۲,۲۸۸ ضلع استفاده کرد. عدد پی محاسبه شده با این چندضلعی نزدیک به مقدار عدد کسری ۳۵۵/۱۱۳ و با دقت شش رقم اعشار پی بود. تقریبا ۶۰۰ سال دیگر طول کشید تا روش دیگری برای محاسبه دقیق‌تر پی ابداع شود.

 

[Miss Nili]

محاسبه عدد پی به کمک سری‌های بی‌نهایت​

سرانجام ریاضیدانان برای محاسبه عدد پی، فرمول‌های دقیقی کشف کردند. تنها مشکل این فرمول‌ها این است که برای رسیدن به دقیق‌ترین تقریب پی باید آن‌ها را تا بی‌نهایت ادامه دهید که خب منطقی است؛‌ چون عدد پی هم تا بی‌نهایت ادامه دارد.
یک نکته بسیار جالب در مورد عدد پی این است که برای محاسبه آن، تنها یک فرمول وجود ندارد و می‌توان از راه‌های بسیاری مقدار تقریبی آن را به دست آورد. یکی از معروف‌ترین و زیباترین این فرمول‌ها، سری گرگوری-لایبنیتس‌ (Gregory-Leibniz)‌ است:‌

اگر می‌شد این الگو را تا ابد ادامه داد، آن وقت می‌توانستیم مقدار دقیق π/۴ را محاسبه کرده و بعد برای بدست آوردن خود پی، این مقدار را در ۴ ضرب کنیم. مشکل این سری این است که برای رسیدن به عدد پی تنها تا دو رقم اعشار باید آن را تا ۳۰۰ واحد ادامه دهید!

 

[Miss Nili]

فرمول دیگری که شما رو زودتر به جواب می‌رساند، سری نیلاکانتا (Nilakantha) است که در قرن پانزدهم میلادی ابداع شد:

اما سریع‌ترین فرمول محاسبه عدد پی، سری چودنوسکی (Chudnovsky) نام دارد که در همان اولین محاسبه، تا ۱۴ رقم اعشار پی را نشان می‌دهد. از این الگوریتم که در سال ۱۹۸۸ ابداع شد، حالا برای ثبت رکوردهای جهانی در محاسبات کامپیوتری استفاده می‌شود.

محاسبه دقیق‌تر و سریع‌تر عدد پی به کمک کامپیوتر​

با گذر زمان، ریاضیدانان فرمول‌های کارآمد دیگری را برای محاسبه عدد پی (π) ابداع کردند که برخی از آن‌ها امروزه در محاسبات کامپیوتری استفاده می‌شود. مثلا به کمک همین الگوریتم چودنوسکی، گروهی از محققان در سال ۲۰۰۹ موفق شدند تا ۲٫۷ تریلیون رقم اشعار پی را در کامپیوتر محاسبه کنند. این محاسبات در سال ۲۰۲۰ به کمک این الگوریتم و نرم‌افزار y-cruncher به ۵۰ تریلیون رقم اعشار رسید.
حالا این ارقام را مقایسه کنید با محاسبات عدد پی قبل از ظهور کامپیوترها! در قرن نوزدهم، ویلیام شنکس برای محاسبه ۷۰۷ رقم اعشار پی، ۱۵ سال وقت گذاشت. متاسفانه، بعدها معلوم شد که او در این محاسبه دچار اشتباه شده و فقط تا ۵۲۷ رقم اعشار آن را درست حساب کرده است!‌

البته ما در بسیاری از محاسبات خود تنها به چند رقم اعشار پی نیاز داریم و آن ۹ یا ۱۰ رقم اعشاری که در ماشین‌حساب می‌بینید، احتمالا از سال ۱۴۰۰ میلادی شناخته شده بود.

 

[Miss Nili]

اثبات گنگ‌بودن پی​

یکی از شگفتی‌های عدد پی، گنگ‌بودن آن است؛ اما همان‌طورکه هنوزهم برخی افراد فکر می‌کنند زمین تخت است، برخی نیز به گنگ‌بودن عدد پی شک دارند. احتمالا مفاهیم اعداد گنگ و گویا را از ریاضی دوران مدرسه به‌خاطر می‌آورید. اعدادی مثل ۳، ۰٫۵، ۰٫۳۳۳ یا ۱۰-، ۱/۲- یا ۱/۷ گویا هستند؛ چون تمام این اعداد را می‌توان به‌صورت کسری از اعداد صحیح (a/b) نوشت. ویژگی اعداد گویا این است که اعشار آن‌ها جایی به‌پایان می‌رسد (مثل ۲ٰ٫۲ یا ۱٫۴۱) یا بالاخره از جایی به بعد تکرار می‌شوند (مثل ۱/۳ که می‌شود ۰٫۳۳۳۳). درمقابل، اعداد گنگ را نمی‌توان به‌صورت کسری از اعداد صحیح نوشت. مثال‌های معروف اعداد گنگ رادیکال ۲ و عدد اویلر (e = ۲٫۷۱۸۲۸) و البته همین عدد پی است.

اگرچه معمولا کسی به گنگ‌بودن رادیکال ۲ شک نمی‌کند و تقریبا همه آن را به‌عنوان واقعیتی در دنیای ریاضی پذیرفته‌اند، درباره گنگ‌بودن عدد پی سؤالات زیادی مطرح می‌شود. آیا واقعا هیچ پایانی برای پی نیست؟ آیا عدد پی چنان تا بی‌نهایت ادامه دارد و تکراری نمی‌شود که می‌توان هر زنجیره عددی مثلا شماره‌تلفن خود را جایی در آن پیدا کرد؟ برای اثبات گنگ‌بودن عدد پی چندین معادله مطرح شده است که شاید ساده‌ترین آن‌ها اثبات نیون (Niven) باشد که فرض می‌کند پی عددی گویا است؛ اما در آخر به تناقض می‌رسد.

 

[Miss Nili]

روش نیون برای اثبات گنگ‌بودن عدد پی بر چهار مرحله زیر استوار است:‌

۱. فرض کنید پی عددی گویا است؛ یعنی π = a/b

۲. تابع f(x) را به شکل زیر تعریف کنید:

۳. بعد از کلی مرحله، ثابت کنید درصورت گویابودن عدد پی، انتگرال f(x) sin(x) از مقادیر ۰ تا پی، حتما عدد صحیح است.

۴. هم‌زمان نشان دهید انتگرال f(x) sin(x) از مقادیر ۰ تا پی، مثبت خواهد بود؛ اما هرچه مقادیر n بزرگ‌تر می‌شود، این مقدار به صفر متمایل می‌شود. تناقضی که به آن می‌رسید، این است:‌ اگر جواب انتگرال عدد صحیح باشد، نمی‌تواند هم‌زمان برابر با مقداری بین صفر و یک باشد.

با این اوصاف، اثبات می‌شود فرض اولیه اشتباه و پی عدد گنگ است. درواقع، اگر پی گویا باشد، مرحله چهارم می‌گوید جواب انتگرال می‌تواند بین صفر و یک باشد؛ اما مرحله سوم می‌گوید جواب همیشه باید عدد صحیح باشد. وجود این تناقض ثابت می‌کند پی نمی‌تواند گویا باشد.

 

[Miss Nili]

تاریخچه عدد پی​

دانشمندان و ریاضی‌دانان حداقل چهارهزار سال است که متوجه اهمیت عدد پی شده‌اند. در کتاب تاریخ پی اثر پتر بکمان آمده است: «دوهزار سال قبل از میلاد بابلی‌ها و مصری‌ها از وجود و اهمیت ثابت π باخبر بودند و می‌دانستند نسبت محیط هر دایره به قطر آن یکسان است.» هم بابلی‌ها و هم مصری‌ها برای این ثابت، مقداری تقریبی در نظر گرفته بودند که بعدها ارشمیدس در یونان باستان آن را بهبود داد. در قرن نهم میلادی، محمد خوارزمی، ریاضی‌دان شهیر ایرانی، عدد پی را تا چهار رقم اعشار دقیق محاسبه کرد. در قرن پانزدهم میلادی نیز، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان شهیر ایرانی، توانست مقدار ۲π را تا شانزده رقم اعشار محاسبه کند؛ به‌طوری‌که تا ۱۵۰سال بعد، کسی نتوانست آن را بیش از این بسط دهد.